Fotools
ar

التقريب العقلاني/استمرار توسيع الكسر

أدخل الرقم الحقيقي

مثال سريع:

نتيجة الحساب

بعد إدخال الأرقام، انقر فوق بدء الحساب

وصف الخوارزمية:

1. الكسر المستمر:
يمكن التعبير عن أي عدد حقيقي x ككسر مستمر:
x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ...)))
يُختصر كـ: x = [a₀; a₁، a₂، a₃، ...]
  • a₀ = ⌊x⌋ (جزء صحيح من x)
  • إذا لم يكن x عددًا صحيحًا، فاسمح لـ x₁ = 1/(x - a₀) واستمر بـ a₁ = ⌊x₁⌋
  • كرر هذه العملية للحصول على a₂، a₃، ...
  • التوسع المستمر للكسر في الأعداد العقلانية هو أمر محدود
  • التوسع المستمر للكسر في الأعداد غير المنطقية هو لانهائي
2. المتقاربة:
يُطلق على الكسر الذي يتم الحصول عليه عن طريق اعتراض الحدود n الأولى للكسر المستمر اسم الكسر المقارب n، ويتم تسجيله كـ pn/qn:
  • ص-1 = 1، ف-1 = 0
  • p0 = a₀، q0 = 1
  • صيغة العودية: pn = an·p(n-1) + p(n-2)
  • صيغة العودية: qn = an·q(n-1) + q(n-2)
  • الكسر المقارب هو أفضل تقريب عقلاني للرقم الأصلي
3. أفضل تقريب عقلاني:
  • بالنسبة لعدد حقيقي معين x والحد الأعلى للمقام Q، أوجد الكسر p/q (q ≤ Q) بحيث يتم تصغير |x - p/q|
  • الكسور المقاربة للكسور المستمرة تعطي أفضل التقديرات العقلانية
  • إذا كان p/q كسرًا مقاربًا لـ x، فبالنسبة للجميع q' < q، |x - p/q| < |x - p'/q'|
4. الكسور المستمرة للأعداد الخاصة:
  • النسبة الذهبية φ:[1; 1, 1, 1, 1, ...] (الكل 1، أبطأ التقارب)
  • √2:[1; 2, 2, 2, 2, ...] (الكسر المستمر الدوري)
  • ه:[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] (بانتظام)
  • π:[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] (لا يوجد نمط واضح)

تعقيد الخوارزمية:

  • تعقيد الوقت:O(n)，حيث n هو عدد الحدود المراد توسيعها
  • تعقيد الفضاء:O(n)，يجب تخزين كافة المعاملات والكسور المقاربة
  • الاستقرار العددي:استخدم أرقام الفاصلة العائمة عالية الدقة أو الأعداد الصحيحة الكبيرة لتجنب فقدان الدقة

سيناريوهات التطبيق:

  • الحساب العددي:استخدم الكسور البسيطة لتقريب الأعداد غير النسبية المعقدة (على سبيل المثال π ≈ 22/7, 355/113)
  • نظرية الموسيقى:يرتبط التناغم الفاصل الزمني ببساطة التوسعات المستمرة للكسر
  • علم الفلك:التقريب العقلاني لحساب فترة حركة الكواكب
  • نظرية الأعداد:التقريب الديوفانتيني، حل معادلة بيل
  • رسومات الحاسوب:خوارزمية الخط المستقيم لبريسنهام، وما إلى ذلك.