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유리 근사/연속 분수 전개

실수를 입력하세요

빠른 예:

계산 결과

숫자를 입력한 후 계산 시작을 클릭하세요.

알고리즘 설명:

1. 연속 분수:
모든 실수 x는 연속된 분수로 표현될 수 있습니다.
x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ...)))
다음과 같이 축약됩니다: x = [a₀; a₁, a₂, a₃, ...]
  • a₀ = ⌊x⌋(x의 정수 부분)
  • x가 정수가 아닌 경우 x₁ = 1/(x - a₀)로 두고 a₁ = ⌊x₁⌋로 계속 진행합니다.
  • 이 과정을 반복하여 a₂, a₃, ...을 얻습니다.
  • 유리수의 연속된 분수 전개는 유한합니다.
  • 무리수의 연속적인 분수 전개는 무한하다
2. 수렴:
연속 분수의 처음 n 항을 가로채서 얻은 분수를 n번째 점근 분수라고 하며 pn/qn으로 기록됩니다.
  • p-1 = 1, q-1 = 0
  • p0 = a₀, q0 = 1
  • 재귀 공식: pn = an·p(n-1) + p(n-2)
  • 재귀 공식: qn = an·q(n-1) + q(n-2)
  • 점근 분수는 원래 숫자에 대한 가장 합리적인 근사치입니다.
3. 최선의 합리적 근사:
  • 주어진 실수 x와 분모 Q의 상한에 대해 |x - p/q|이 최소화되는 분수 p/q(q ≤ Q)를 찾습니다.
  • 연속 분수의 점근 분수는 모든 최상의 합리적 근사를 제공합니다.
  • p/q가 x의 점근 분수이면 모든 q' < q에 대해 |x - p/q| < |x - p'/q'|
4. 특수 숫자의 연속 분수:
  • 황금 비율 φ:[1; 1, 1, 1, 1, ...] (모두 1, 가장 느린 수렴)
  • √2:[1; 2, 2, 2, 2, ...] (주기적인 연속 분수)
  • 이자형:[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] (정기적으로)
  • π:[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] (뚜렷한 패턴이 없음)

알고리즘 복잡성:

  • 시간 복잡도:O(n)，여기서 n은 확장할 항의 수입니다.
  • 공간 복잡도:O(n)，모든 계수와 점근 분수를 저장해야 합니다.
  • 수치적 안정성:정밀도 손실을 방지하려면 고정밀 부동 소수점 숫자나 큰 정수를 사용하세요.

애플리케이션 시나리오:

  • 수치 계산:단순 분수를 사용하여 복소 무리수를 근사화합니다(예: π ≒ 22/7, 355/113)
  • 음악 이론:간격 조화는 연속 분수 전개의 단순성과 관련이 있습니다.
  • 천문학:행성 운동 주기를 계산하기 위한 합리적인 근사
  • 정수론:디오판틴 근사, 펠 방정식의 해
  • 컴퓨터 그래픽:Bresenham 직선 알고리즘 등