1. Fracción continua:
Cualquier número real x se puede expresar como una fracción continua:
x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ...)))
Abreviado como: x = [a₀; a₁, a₂, a₃, ...]
- a₀ = ⌊x⌋ (parte entera de x)
- Si x no es un número entero, sea x₁ = 1/(x - a₀) y continúe con a₁ = ⌊x₁⌋
- Repita este proceso para obtener a₂, a₃, ...
- La expansión fraccionaria continua de los números racionales es finita.
- La expansión fraccionaria continua de los números irracionales es infinita.
2. Convergentes:
La fracción obtenida al interceptar los primeros n términos de una fracción continua se llama n-ésima fracción asintótica, y se registra como pn/qn:
- p-1 = 1, q-1 = 0
- p0 = a₀, q0 = 1
- Fórmula recursiva: pn = an·p(n-1) + p(n-2)
- Fórmula recursiva: qn = an·q(n-1) + q(n-2)
- Una fracción asintótica es la mejor aproximación racional al número original
3. Mejor aproximación racional:
- Para un número real x dado y un límite superior en el denominador Q, encuentre la fracción p/q (q ≤ Q) tal que |x - p/q| sea minimizado
- Las fracciones asintóticas de fracciones continuas dan las mejores aproximaciones racionales
- Si p/q es una fracción asintótica de x, entonces para todo q' < q, |x - p/q| < |x - p'/q'|
4. Fracciones continuas de números especiales:
- Proporción Áurea φ:[1; 1, 1, 1, 1, ...] (Todo 1, convergencia más lenta)
- √2:[1; 2, 2, 2, 2, ...] (fracción continua periódica)
- mi:[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] (Regularmente)
- π:[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] (sin patrón obvio)
Complejidad del algoritmo:
- Complejidad del tiempo:O(n)，donde n es el número de términos a expandir
- Complejidad espacial:O(n)，Es necesario almacenar todos los coeficientes y fracciones asintóticas.
- Estabilidad numérica:Utilice números de coma flotante de alta precisión o números enteros grandes para evitar la pérdida de precisión.
Escenarios de aplicación:
- Cálculo numérico:Utilice fracciones simples para aproximar números irracionales complejos (por ejemplo, π ≈ 22/7, 355/113)
- Teoría de la música:La armonía de intervalos está relacionada con la simplicidad de las expansiones de fracciones continuas.
- astronomía:Aproximación racional para calcular el período de movimiento planetario.
- Teoría de números:Aproximación diofántica, solución de la ecuación de Pell
- Gráficos por computadora:Algoritmo de línea recta de Bresenham, etc.