Fotools
tr

Rasyonel yaklaşım/sürekli kesir genişletme

Gerçek sayıyı girin

Hızlı örnek:

Hesaplama sonucu

Sayıları girdikten sonra Hesaplamayı Başlat'a tıklayın.

Algoritma açıklaması:

1. Devamlı Kesir:
Herhangi bir x gerçek sayısı sürekli kesir olarak ifade edilebilir:
x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ...)))
Kısaltılmış hali: x = [a₀; a₁, a₂, a₃, ...]
  • a₀ = ⌊x⌋ (x'in tamsayı kısmı)
  • Eğer x bir tam sayı değilse, x₁ = 1/(x - a₀) olsun ve a₁ = ⌊x₁⌋ ile devam edin
  • a₂, a₃, ... elde etmek için bu işlemi tekrarlayın.
  • Rasyonel sayıların sürekli kesir açılımı sonludur
  • İrrasyonel sayıların sürekli kesir açılımı sonsuzdur
2. Yakınsaklıklar:
Devamlı bir kesirin ilk n teriminin kesişmesiyle elde edilen kesir, n'inci asimptotik kesir olarak adlandırılır ve pn/qn olarak kaydedilir:
  • p-1 = 1, q-1 = 0
  • p0 = a₀, q0 = 1
  • Özyineleme formülü: pn = an·p(n-1) + p(n-2)
  • Özyineleme formülü: qn = an·q(n-1) + q(n-2)
  • Asimptotik kesir, orijinal sayıya en iyi rasyonel yaklaşımdır
3. En iyi rasyonel yaklaşım:
  • Belirli bir x gerçek sayısı ve Q paydası üzerindeki bir üst sınır için, |x - p/q| en aza indirilecek şekilde p/q (q ≤ Q) kesrini bulun.
  • Sürekli kesirlerin asimptotik kesirleri en iyi rasyonel yaklaşımları verir
  • Eğer p/q, x'in asimptotik bir kesri ise, o zaman tüm q' < q için, |x - p/q| < |x - p'/q'|
4. Özel sayıların devam eden kesirleri:
  • Altın Oran φ:[1; 1, 1, 1, 1, ...] (Hepsi 1, en yavaş yakınsama)
  • √2:[1; 2, 2, 2, 2, ...] (periyodik devam eden kesir)
  • e:[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] (Düzenli olarak)
  • π:[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] (belirgin bir model yok)

Algoritma karmaşıklığı:

  • Zaman karmaşıklığı:O(n)，burada n genişletilecek terimlerin sayısıdır
  • Uzay karmaşıklığı:O(n)，Tüm katsayıların ve asimptotik kesirlerin saklanması gerekir
  • Sayısal kararlılık:Hassasiyet kaybını önlemek için yüksek hassasiyetli kayan nokta sayıları veya büyük tam sayılar kullanın

Uygulama senaryoları:

  • Sayısal hesaplama:Karmaşık irrasyonel sayıları yaklaşık olarak hesaplamak için basit kesirler kullanın (örneğin, π ≈ 22/7, 355/113)
  • Müzik Teorisi:Aralık uyumu, sürekli kesir açılımlarının basitliğiyle ilgilidir
  • astronomi:Gezegensel hareket periyodunu hesaplamak için rasyonel yaklaşım
  • Sayı teorisi:Diofant yaklaşımı, Pell denkleminin çözümü
  • Bilgisayar Grafikleri:Bresenham düz çizgi algoritması vb.